Simetria. O segredo das partes gêmeas

 

 

Vídeo: TED – Ideas Worth Spreading

Tradução para o português: Lisângelo Berti. Revisão: Fers Gruendling

 

Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria está ligada mais a pensamentos sobre arte e natureza do que sobre matemática. De fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria e simetrias são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia.

 

 

Simetrias são encontradas, frequentemente, na natureza: basta olhar para o nosso próprio corpo, olhar para as imagens em um espelho, olhar as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma concha do mar. Simetrias também podem ser achadas na arte (como no célebre desenho do corpo humano feito por Leonardo da Vinci), na arquitetura e em objetos da nossa vida comum, como, por exemplo, uma tesoura.

Simetria é por vezes definida como “proporções perfeitas e harmoniosas” ou “uma estrutura que permite que um objeto seja dividido em partes de igual formato e tamanho”. Quando pensamos em simetria, provavelmente pensamos em algum tipo de combinação de todas ou algumas dessas palavras. Isto porque quer em biologia, arquitetura, arte ou geometria, simetrias refletem, de alguma forma, todas estas características.

Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No entanto, no plano, a ideia básica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas.

 

O matemático Marcus du Sautoy é o mais recente “embaixador da ciência” nomeado pela Oxford University, na Inglaterra. Nesta conferência recente, proferida para o TED – Ideas Worth Spreading, ele joga com números primos, com grandes grupos simétricos, com outras dimensões do tempo e do espaço. Ao ouvi-la, fica fácil entender por que o jornal The Observer o descreve como “O homem que sabe como trazer a matemática para a vida do dia-a-dia”.

 

Video: Simetria, enigma da realidade

 

Tradução integral da conferência de Marcus du Sautoy sobre simetria:

“No dia 30 de Maio de 1832 ouviu-se um disparo ecoando por todo o 13º bairro de Paris. Um camponês que caminhava pelo mercado aquela manhã correu na direção de onde veio o disparo e encontrou um jovem homem se contorcendo em agonia no chão, claramente ferido em um duelo. O nome do jovem era Evariste Galois. Ele foi um revolucionário famoso na Paris da época. Galois foi levado para o hospital local onde, no dia seguinte, morreu nos braços do seu irmão. E as últimas palavras que ele disse para o irmão foram: ‘Não chore por mim Alfred. Eu preciso de toda coragem que tiver para morrer aos 20 anos.’

Não foi, de fato, a política revolucionária o motivo pelo qual Galois ficou famoso. Alguns anos antes, enquanto ainda estava na escola, ele realmente conseguiu resolver um dos maiores problemas matemáticos da época. E ele escreveu para os membros da academia em Paris, tentando explicar a sua teoria. Mas os acadêmicos não puderam entender nada do que ele escreveu. (Risos) Foi assim que ele escreveu a maioria dos seus cálculos.

Então, na noite anterior ao duelo, ele percebeu que essa seria possivelmente a sua última chance para tentar explicar sua grande descoberta. Então, ficou acordado a noite inteira, escrevendo, tentando explicar as suas ideias. E ao chegar a aurora, ele foi encontrar o seu destino, e deixou essa pilha de papéis sobre a mesa para a próxima geração. Talvez o fato de ter passado a noite em claro fazendo cálculos seja o motivo de ter sido um atirador tão ruim na manhã em que foi morto.

 

 

Mas contido nesses documentos estava uma nova língua, uma língua para entender um dos conceitos mais fundamentais da ciência – ou seja, a simetria. Agora, simetria é quase uma linguagem da natureza. Ela nos ajuda a entender tantas partes diferentes do mundo científico. Por exemplo, a estrutura molecular. Como os cristais são possíveis, nós podemos entender através da matemática da simetria.

Na microbiologia você realmente não quer ter um objeto simétrico. Porque geralmente eles são bem desagradáveis. O vírus da gripe suína, no momento, é um objeto simétrico. E ele usa a eficiência da simetria para ser capaz de se propagar tão bem. Mas em uma escala maior da biologia, a simetria é realmente importante, porque ela de fato comunica informação genética.

Eu peguei duas fotos aqui e as tornei artificialmente simétricas. E se eu perguntar a vocês qual acham mais bonita, vocês provavelmente escolherão as duas de baixo. Porque é difícil fazer simetria. E se você pode se fazer simétrico, está mandando um sinal que você tem bons genes, tem uma boa formação e portanto será um bom parceiro. Então simetria é uma linguagem que ajuda a comunicar informação genética.

Simetria também pode nos ajudar a explicar o que está acontecendo no Grande Colisor de Hádrons, no CERN. Ou o que não está acontecendo no Grande Colisor de Hádrons no CERN. Para ser capaz de fazer previsões sobre as partículas fundamentais que talvez possamos ver lá, parece que todas são facetas de alguma forma simétrica estranha em um espaço dimensional maior.

 

 

E acredito que Galileu resumiu muito bem o poder da matemática para entender o mundo científico a nossa volta. Ele escreveu: ‘O universo não pode ser lido até que tenhamos aprendido a língua e estejamos familiarizados com os símbolos em que é escrita. Ela é escrita em linguagem matemática. E as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente impossível compreender uma única palavra.’

Mas não são só os cientistas que estão interessados na simetria. Artistas também amam brincar com simetria. Eles também têm uma relação um pouco mais ambígua com ela. Aqui está Thomas Mann falando sobre simetria em ‘A Montanha Mágica’. Ele tem um personagem descrevendo um floco de neve. E ele diz: ‘estremeceu com sua precisão perfeita, a achou mortal, a própria essência da morte’.

Mas o que artistas gostam de fazer é criar expectativas da simetria e depois quebra-las. Um belo exemplo disso eu encontrei quando visitei um colega meu no Japão, Professor Kurokawa. Ele me levou para visitar os templos em Nikko. E logo depois de tirada essa foto, nós subimos a escada. E o portão que vocês veem atrás tem oito colunas, com lindos desenhos simétricos nelas. Sete delas são exatamente iguais, e a oitava está de ponta-cabeça

Eu disse ao Professor Kurokawa, ‘Nossa, os arquitetos devem ter mesmo odiado quando perceberam que cometeram um erro e colocaram esta de ponta-cabeça.’ E ele disse: ” Não, não, não. Foi um ato deliberado.’ E me disse essa encantadora citação do japonês ‘Ensaios sobre o ócio’, do século 14. Nele, o ensaísta escreveu, ‘Em tudo, uniformidade é indesejável. Deixar algo incompleto o torna interessante, e dá para alguém a sensação de que há espaço para crescer’. Até mesmo quando construíram o palácio imperial, eles sempre deixavam um lugar inacabado.

Mas se eu tivesse que escolher uma construção no mundo para ser posta em uma ilha deserta, para viver o resto da minha vida, sendo um viciado em simetria, eu provavelmente escolheria a Alhambra em Granada. Esse é um palácio que celebra a simetria. Recentemente, levei minha família — nós fazemos esse tipo de viagens matemáticas, que minha família adora. Esse é meu filho Tamer. Você pode ver que ele realmente está gostando da nossa viagem matemática para Alhambra. Mas eu queria tentar enriquecê-lo. Eu penso que um dos problemas sobre matemática nas escolas é que parece que a matemática não está presente no mundo em que vivemos. Então, eu quis abrir os olhos dele para o tanto de simetria que está ocorrendo em Alhambra.

Você já vê. Imediatamente você entra, a simetria refletiva na água. Mas é nas paredes que todas as coisas mais empolgantes estão acontecendo. Foi negada a possibilidade dos artistas mouros de desenhar coisas com almas. Então eles exploraram as figuras geométricas. E então o que é simetria? O Alhambra de alguma forma pergunta todas essas questões: O que é simetria? Quando existem duas dessas paredes, elas têm a mesma simetria? Podemos dizer que eles descobriram tudo das simetrias em Alhambra?

 

 

E foi Galois que produziu a linguagem capaz de responder algumas dessas perguntas. Para Galois, simetria – diferente de Thomas Mann, para quem era algo estático e mortal – para Galois, simetria trata de movimento. O que se pode fazer a um objeto simétrico, mover de algum jeito, para que ainda pareça o mesmo de antes? Gosto de descrever como os movimentos mágicos. O que se pode fazer a algo? Feche os olhos. Eu faço algo, coloco de volta. Parece como estava antes.

Por exemplo, os muros em Alhambra. Posso pegar todas estas telhas, e ajustá-las no lugar amarelo, girar 90 graus, colocá-las de volta e elas se ajustaram perfeitamente. Se você abrir os seus olhos não saberá que elas se moveram. Mas é o movimento que realmente caracteriza a simetria no interior de Alhambra. Mas também se deve produzir uma linguagem que a descreva. E o poder da matemática muitas vezes muda algo para outra coisa, muda a geometria para linguagem.

Vou levá-los agora para algo que talvez exija um pouco de matemática… então, segurem-se… vou exigir um pouco de vocês para que entendam como essa linguagem funciona, o que nos permite captar o que é simetria. Vamos pegar estes dois objetos simétricos aqui. Vamos pegar essas estrelas-do-mar de 6 pontas. O que eu posso fazer a elas para que pareçam iguais?Aqui, eu girei quase um sexto de volta, e ainda parece o mesmo de antes. Eu poderia girar um terço de volta, ou metade, ou colocar de volta em sua imagem, ou dois terços de volta. E uma quinta simetria, posso girar cerca de cinco sextos de volta. São coisas que posso fazer com objetos simétricos e parece como estava antes.

Agora, para Galois, havia na verdade uma sexta simetria. Alguém sabe o que mais posso fazer para que pareça como estava antes? Não posso virar porque coloquei um fio, certo? Não tem simetria refletiva. Mas o que posso fazer é deixar onde ele está, erguê-lo, e colocá-lo de volta. E para Galois isto era simetria na ordem zero. Na verdade a invenção do número zero foi um conceito moderno, no século 7 AC pelos hindus. Parece loucura falar sobre o nada. E é a mesma ideia. Isto é simétrico… Tudo possui simetria, desde que se deixe onde estava.

Assim, este objeto possui seis simetrias. E que tal este triângulo? Posso girá-lo um terço no sentido horário ou um terço anti-horário. Agora este tem alguma simetria refletiva. Posso refletir na linha através de X, ou na linha Y, ou na linha Z. Cinco simetrias e lógico na simetria zero aonde eu o ergo e deixo onde estava. Ambos os objetos têm seis simetrias.Tenho a certeza que matemática não é esporte para espectadores, e vocês têm que fazer alguma matemática para realmente compreender.

Aqui vai uma perguntinha para vocês. Darei um prêmio ao fim da apresentação para a pessoa que mais se aproximar da resposta. O Cubo Mágico. Quantas simetrias um Cubo Mágico possui? Quantas coisas posso fazer com este objeto e ainda assim pareça um cubo? Certo? Pensem nesse problema enquanto continuamos, e contem quantas simetrias existem. E haverá um prêmio para a pessoa que mais se aproximar.

Vamos voltar para as simetrias que temos nestes dois objetos. O que Galois percebeu: não eram só as simetrias individuais, mas como elas interagem com cada uma que realmente caracteriza a simetria de um objeto. Se faço um movimento mágico, seguido por outro, a combinação é um terceiro movimento. Aqui vemos Galois começando a desenvolver uma linguagem para entender a substância das coisas ocultas, o tipo de ideia abstrata da simetria que fundamenta este objeto físico. Por exemplo, e se eu virar a estrela cerca de um sexto de volta, e então um terço?

Eu dei nomes. As maiúsculas, A, B, C, D, E, F são os nomes das rotações. B, por exemplo, rotaciona o pontinho amarelo para B na estrela. E assim vai. E se faço B, que é um sexto de volta, seguido por C, que é um terço de volta? Vamos fazer. Um sexto de volta, seguido por um terço, o efeito combinado é como se tivesse girado cerca de meia volta. Essa tabela aqui registra como a álgebra dessas simetrias funciona. Faço uma seguida de outra, a resposta é sua rotação D, meia volta. E se fizesse em outra ordem? Faria alguma diferença? Vejamos. Primeiro um terço, e então um sexto de volta. Claro, não faz qualquer diferença. Ainda fica como meia volta.

Há alguma simetria no modo como as simetrias interagem entre elas. Mas é totalmente diferente com as simetrias do triângulo. Vejamos o que acontece se fizermos duas simetrias com o triângulo, uma após a outra. Façamos uma rotação de um terço sentido anti-horário, e vamos refletir na linha através de X. O efeito combinado é como se tivéssemos iniciado a reflexão pela linha através de Z. Vamos fazer em uma ordem diferente. Vamos fazer a reflexão em X primeiro, seguida de uma rotação anti-horário de um terço. O efeito combinado, o triângulo fica em algum lugar completamente diferente. Como se tivesse sido refletido na linha Y.

Agora importa a ordem das operações. O que nos habilita a distinguir por que as simetrias destes objetos… ambos possuem seis simetrias. Por que não dizemos que eles possuem as mesmas simetrias? Mas o modo como as simetrias interagem nos permite… agora temos uma linguagem para distinguir porque estas simetrias são tão diferentes. Vocês podem experimentar quando forem ao bar, mais tarde. Peguem um porta copos, e girem um quarto, então virem. Depois façam na ordem inversa. A figura estará virada para a direção oposta.

 

 

Galois produziu algumas leis de como essas tabelas simetricamente interagem. É quase como as tabelas de Sudoku. Você não vê qualquer simetria entre qualquer linha ou coluna. Usando essas regras, ele foi capaz de dizer que de fato há apenas dois objetos com seis simetrias. E eles serão os mesmos como as simetrias do triângulo, ou as simetrias da estrela de seis pontas. Creio que é um avanço incrível. É quase como que o conceito de número seja feito pela simetria. Aqui na frente, tenho uma, duas, três pessoas sentadas em um, dois, três assentos. As pessoas nos assentos são bem diferentes, porém o número, a ideia abstrata do número, é a mesma.

Agora podemos entender: voltemos para os muros em Alhambra. Aqui estão dois muros bem diferentes, com figuras geométricas bem diferentes. Mas, usando a linguagem de Galois, podemos compreender que os abstratos fundamentos simétricos das coisas são os mesmos na verdade. Por exemplo, vejamos esta linda parede com os triângulos com um pequeno eixo. Podem girá-los cerca de um sexto se ignorarmos as cores. Não estamos combinando as cores. Mas as formas combinam se girarmos um sexto de volta em torno do ponto onde todos os triângulos se encontram. E o centro de um triângulo? Posso rodar cerca de um terço ao redor do centro do triângulo, e tudo se encaixa. E há um ponto interessante por entre uma borda, que eu posso girar cerca de 180 graus. E todas as placas novamente combinam. Então girar por entre a borda, e todos eles combinam.

Passemos para um muro de aparência bem diferente em Alhambra. E encontramos as mesmas simetrias, a mesma interação. Foi um sexto de volta. Um terço onde as peças Z se encontram. E meia volta é meia distância entre as estrelas de 6 pontas. Apesar dos muros parecerem diferentes, Galois produziu uma linguagem para dizer que de fato as simetrias fundamentais são exatamente as mesmas. Esta simetria chamamos 6-3-2.

Aqui está mais um exemplo em Alhambra. Esta é uma parede, um teto e um piso. Parecem bem diferentes. Mas a linguagem nos permite dizer que são representações do mesmo objeto abstrato simétrico, o qual chamamos 4-4-2. Nada a ver com futebol, mas sim com o fato de existir dois lugares onde se pode rodar um quarto, e outro meia volta.

 

 

Agora, o poder da linguagem é ainda maior, porque Galois pode dizer, ‘Os artistas mouros descobriram todas as simetrias possíveis nos muros em Alhambra?’ E quase que descobriram. Pode-se provar, usando a linguagem de Galois, que existem somente 17 simetrias diferentes que se podem fazer nos muros de Alhambra. Se você tentar produzir um outro muro com a décima oitava, ele terá que possuir as mesmas simetrias dos outros 17.

Mas coisas que podemos ver. O poder da linguagem matemática de Galois é nos permitir criar objetos simétricos em um mundo não visto, além das duas ou três dimensões, até chegar a quarta ou quinta, ou o infinito espaço dimensional. E aí está o meu trabalho, eu crio objetos matemáticos, objetos simétricos, usando a linguagem de Galois, em espaços com muitas dimensões. Creio que é um ótimo exemplo de coisas inéditas, que o poder da linguagem matemática nos permite criar.

Como Galois, fiquei a noite passada criando um novo objeto matematicamente simétrico para vocês. Tenho uma imagem dele aqui. Bem, infelizmente não é realmente uma imagem. Se eu pudesse ter minha prancheta aqui ao lado, ótimo. Vamos lá. Infelizmente não posso mostrar uma imagem deste objeto simétrico. Mas aqui está a linguagem que descreve como as simetrias interagem.

Este novo objeto simétrico ainda não tem nome. Pessoas gostam de colocar seus nomes em coisas, em crateras da Lua, ou novas espécies de animais. Então darei a vocês a chance de ter seu nome em um novo objeto simétrico que ainda não foi nomeado. E esta coisa… espécies morrem, e luas podem ser atingidas por meteoros e explodirem… mas este objeto matemático viverá para sempre. Eu o farei imortal. Para poder ganhar este objeto simétrico, o que vocês devem fazer é responder a pergunta que fiz no início. Quantas simetrias um Cubo Mágico possui?

Certo, eu vou selecionar. Ao invés de todos gritando, quero que contem quantos dígitos existem naquele número, certo? Se encontrar um fatorial, tem que expandir o fatorial.Certo, agora se querem brincar, peço que se levantem, okay? Se encontraram uma estimativa de quantos dígitos, certo… já temos um competidor aqui… Se todos ficarem sentados ele ganha automaticamente. Certo. Excelente. Temos quatro aqui, cinco, seis. Ótimo. Excelente. Podemos prosseguir. Tudo bem.

Aqueles com cinco dígitos ou menos, podem sentar. Porque vocês subestimaram. Cinco dígitos ou menos. Então, se tem dezenas de milhares podem sentar. 60 dígitos ou mais, podem sentar. Vocês superestimaram. 20 dígitos ou menos, sentem. Quantos dígitos há neste número? Dois? Você deveria estar sentado. (Risos) Vamos ver os outros, quem sentou durante os 20, de pé. Okay? Se eu disse 20 ou menos, de pé. Por conta deste. Acho que há mais aqui. As pessoas que sentaram por último.

Certo, quantos dígitos você tem em seu número? (Risos) 21. Bom. Quantos tem no seu?18. Então vai para a senhora aqui. 21 é o mais próximo. Na verdade ele tem… o número de simetrias no Cubo Mágico tem 25 dígitos. Agora preciso nomear este objeto. Então, qual seu nome? Preciso do seu sobrenome. Objetos simétricos geralmente… Soletre pra mim.G, H, E, Z Nenhum SO2 já foi usado, na verdade, em linguagem matemática. Esse você não pode ter. Então Ghez, lá vamos nós. Este é o seu novo objeto simétrico. Agora você é imortal. (Aplausos)

E se gostar do seu próprio objeto simétrico, tenho um projeto, levantar fundos para caridade na Guatemala, ficarei a noite inteira acordado e darei um objeto a você, por uma doação a esta caridade que ajuda a educar crianças, na Guatemala. Penso que o que me motiva, como matemático, são as coisas ainda inéditas, coisas ainda não descobertas. As perguntas não respondidas que fazem da matemática um assunto vivo. O que sempre me traz de volta a esta citação do “Ensaios em Ócio” japonês: “Em tudo, a uniformidade é indesejável. Deixar algo incompleto o torna interessante. e lhe dá a sensação que há espaço para crescer.” Obrigado.